高能X射线本征应变层析成像解的唯一性：反例与适定性条件
本研究深入探讨了基于衍射应变测量的本征应变层析成像中的反问题。通过构造明确的反例，证明了仅从单一应变分量进行重建会导致解不唯一。研究确立了适定性的最小条件：对于各向同性样品，需要测量三个应变分量（三个剪切分量或三个对角分量）才能唯一重建完整弹性应变张量。此外，研究还证明了两项关键结果：任何残余应力场均可由对角本征应变产生；存在无法由各向同性本征应变产生的残余应力场。这些发现为本征应变层析技术及一般反本征应变问题确立了严格的实验与计算要求。
2025-12-15 速览 · 数学
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非正曲率曲面上测地流超扩散中心极限定理获证
本研究针对一类具有平坦圆柱结构的非正曲率曲面，证明了其测地流存在超扩散中心极限定理和弱不变原理，其归一化因子为$(t\log t)^{1/2}$。同时证明了相关函数以$t^{-1}$速率衰减。证明的关键在于改进了由格林丛诱导的稳定/不稳定叶层正则性结果，该结果本身具有独立的研究价值。
五次方等和问题线性切片研究：模条件限制与秩上界证明
本研究聚焦于带线性约束(c+d)-(a+b)=h的五次方等和方程a⁵+b⁵=c⁵+d⁵。首先证明了h必须满足模条件30|h，并针对首个容许切片h=30展开分析。问题可转化为在有理函数域ℚ(S)上的亏格一纤维化寻找有理截面。研究者显式构造了对应的雅可比椭圆曲面E/ℚ(S)，通过利用全局有理2-挠点并应用Gusić-Tadić单射性准则，证明了秩上界rank E(ℚ(S))≤1。这一结果严格限制了该切片内整数解无穷族可能的结构。
有限二维无序系统中体边对应的严格证明
本研究严格证明了有限二维遍历无序系统的体边对应原理。针对具有遍历无序在位势的短程哈密顿量，研究者在Aizenman-Molchanov迁移率隙内定义了体指数和边指数。体指数由霍尔电导（一个已被深入研究的量子化拓扑数）和安德森局域化导致的体局域模式贡献组成；边指数则刻画了迁移率隙内波的平均角动量，并唯一地与有限系统相关联。主要结果表明，当样品尺寸趋于无穷时，边指数几乎必然收敛于体指数。该发现为有限无序系统的体边对应原理提供了严格的数学基础。
非交换Γ半环的代数K理论：从投射模到Grothendieck群
本文首次将代数K理论推广至非交换Γ半环，建立了该领域的基础框架。作者构造了非交换Γ半环上有限生成投射双Γ模范畴，证明其具有正合结构，从而定义了Grothendieck群K₀^Γ。进一步利用初等矩阵和Steinberg关系定义了Whitehead群K₁^Γ，并建立了连接K₀与K₁的基本正合序列。研究为后续高阶K理论谱的研究奠定了代数基础。
非交换伽马半环的高阶代数K理论：Quillen与Waldhausen谱
本文为非交换n元Γ-半环构建了高阶代数K理论。作者从先前引入的双有限、槽敏感的n元Γ-模范畴出发，分别通过Quillen的Q构造和Waldhausen的S•构造定义了高阶K群Kn(T,Γ)。核心成果是证明了由此产生的Quillen谱与Waldhausen谱是典范弱等价的，并进一步将它们与非交换谱SpecTnc(T)上拟凝聚层导出范畴中的完美复形稳定∞范畴的K理论等同起来。由此获得了K理论的函子性、局部化、切除序列以及导出Morita不变性，表明该K理论是非交换谱的导出几何不变量，并将具体计算归结为几何分解和同调技术。
离散时间系统随机与有界噪声的线性二次控制新策略
本文针对同时受随机噪声和有界噪声干扰的离散时间系统，提出了一种新的线性二次控制设计方法。该方法创新性地结合了卡尔曼滤波和椭球集员滤波进行状态估计，以兼顾两种噪声特性。在此基础上，推导出一种鲁棒状态反馈最优控制律，该控制律同时考虑了随机和有界状态估计误差，在保证系统稳定性的同时避免了过度保守。此策略扩展了线性二次控制的应用范围，尤其适用于具有多样化传感且受不同类型噪声影响的现实控制系统。数值仿真结果验证了所提策略在控制性能上的提升。
间断伽辽金法求解超图扩散问题的稳定性与收敛性分析
本研究将内部惩罚间断伽辽金方法应用于求解定义在超图结构（如线段网络或平面曲面网络）上的椭圆方程。核心贡献在于通过证明超图上的离散庞加莱不等式，确保了方法的稳定性。对于正则性参数 1 < r ≤ 2 的解，证明了方法的收敛性；在低正则性（r ≤ 3/2）情况下，利用超图上索伯列夫空间的广义提升算子，获得了弱一致性结果。数值实验验证了理论分析的正确性。
一类具有任意高次不变代数曲线的平面Lotka-Volterra系统
本文构建了一类新的平面Lotka-Volterra系统，其显著特点是能够显式地包含任意高次的不变代数曲线。这一发现突破了以往此类系统不变曲线次数的限制，为研究复杂动力系统的代数结构提供了新的模型和工具。
球面乘积上多项式优化的矩-SOS层次结构有限收敛性证明
本研究针对定义在多个球面乘积上的多重齐次多项式优化问题，证明了对于一般的目标函数，矩-SOS松弛层次结构具有有限收敛性。该问题建模了寻找任意张量最佳秩一逼近的张量优化问题。研究通过结合局部最优性条件、微分几何和莫尔斯理论，将先前在单个球面上齐次多项式的结果推广到更一般的乘积流形情形。
算子学习最优加权最小二乘法：实现近最优样本复杂度
本研究提出了一种用于学习希尔伯特空间之间未知算子的加权最小二乘方法。通过引入算子层面的Christoffel函数定义采样测度和权重，该方法能生成均匀良态的格拉姆矩阵，并实现近最优的样本复杂度（样本量M ~ N log N）。研究构建了稠密于有界线性算子类的秩一线性算子空间，以及在温和假设下稠密于Bochner空间的秩一多项式算子空间，并给出了相关最优测度的可实施采样程序。该方法在泊松方程、粘性Burgers方程和不可压Navier-Stokes方程的解算子学习等基准问题上验证了有效性。
球解码算法新突破：引入自由度提升整数最小二乘问题求解效率
本文重新审视了用于求解整数最小二乘问题的球解码范式，通过引入额外自由度来挖掘解码潜力。提出了等效球解码方法，其本质与经典的Fincke-Pohst球解码相同，但使用初始搜索规模K和偏差因子σ两个新参数来表征球半径D。研究表明，通过适当固定σ，当球半径D=σ√(2lnK)时，ESD在访问节点数上的复杂度上界为|S|，为高效求解通信与信号处理中的关键问题提供了新思路。
因果影响的资源理论框架：从确定性关系到知识不确定性
本研究为理解和量化变量间的因果关系建立了一个资源理论框架。研究聚焦于两个变量存在因果序（无隐藏混杂）的最简非平凡情形。首先，针对确定性函数依赖的因果影响，提出了可直接量化的资源理论，并解决了资源可转化性判定和完备单调集识别问题。其次，针对函数依赖存在不确定性的情况，构建了相应的资源理论，并给出了判定知识状态间可转化性的线性规划方法。特别地，对于二值变量情形，识别出了一个能完全刻画所有资源偏序关系的三元单调集，并对每个单调量进行了解释。
Freiman-Ruzsa定理边界改进：逼近多项式猜想
本研究针对加法组合学中的Freiman-Ruzsa定理取得重要进展。当有限阿贝尔群子集A满足|A+A|≤K|A|时，证明A可被至多exp(C_ε log(2K)^{1+ε})个凸陪集级数的平移覆盖，其维度和大小均有类似上界。该结果将先前Sanders和Konyagin要求的ε>2改进为任意ε>0，距离多项式Freiman-Ruzsa猜想（ε=0）仅一步之遥。证明创新性地结合了熵方法与傅里叶分析技术。
p进数域上的连分数算术：突破实数局限的新方法
本文首次系统构建了p进数域上的连分数算术理论。研究者提供了计算p进数莫比乌斯变换与双线性分式变换连分数的完整方法，从而可在p进数上执行所有标准算术运算。与实数连分数不同，研究证明仅凭初始连分数的任意多部分商，有时不足以恢复变换后的部分商，但这类“不可恢复”的元素在p进数域中具有零哈尔测度。
非局部能量下两相微极性流体流动：存在性理论与非局部极限
本研究探讨了一种具有非局部能量的热力学一致相场模型，用于描述二元微极性流体混合物（即具有内部旋转的流体）。该模型由Navier-Stokes-Cahn-Hilliard系统描述，扩展了Abels、Garcke和Grün针对密度不匹配的二元牛顿流体混合物提出的早期非局部模型。研究建立了三维全局弱解的存在性和二维全局强解的适定性，并证明了当非局部相互作用核趋近于Dirac delta分布时，非局部模型向其局部对应模型的弱收敛。在二维情况下，还提供了非局部微极性模型强解与非局部Abels-Garcke-Grün模型及Model H强解之间的一致性估计。
缺陷如何“钉住”自由边界：伯努利问题中的钉扎效应研究
本研究探讨了伯努利自由边界问题中，存在紧支撑系数缺陷（即“杂质”）时的钉扎效应。当缺陷尺寸较小且周期性排列时，系统会产生大尺度斜率与背景场值略有不同的平面状解，这种现象被称为钉扎。通过分析单个缺陷的类电容钉扎效应，研究计算了当缺陷尺寸趋近于零时，沿晶格对齐法线方向的钉扎斜率区间的渐近展开。该工作为理解毛细接触线中的接触角滞后现象提供了理论依据。
图论新突破：FAT着色构造证明存在性
本研究解决了图论中关于FAT着色的一个开放性问题。对于给定的整数k>1和满足β+(k-1)α=1的有理参数α,β，论文明确构造了一列互不同态的图序列{G_n}，其中每个图都是正度正则图，且均存在具有相应参数α,β的FAT k-着色，从而肯定地回答了此类着色图的存在性问题。
五维海森堡群上子黎曼LR系统测地线分类研究
本文研究了五维海森堡群上左不变子黎曼度量与右不变分布对应的测地流。该系统对应的哈密顿系统完全可积，作者对其解进行了深入分析，获得了测地曲线的完整分类。此外，作为求积过程的第一步，文中还计算了关键函数 r(t)。
框架车代数：统一两种重要代数结构的新理论
本文引入并研究了框架车代数，这一结构统一了Iwahori-Hecke代数的两个重要推广。其一由Solomon提出，将Hecke代数扩展到全矩阵幺半群，得到车幺半群代数；其二由Yokonuma发展，用幂幺子群代替Borel子群，得到Yokonuma-Hecke代数。作者从全矩阵幺半群中幂幺子群的双陪集出发构造具体代数，证明其分解可由框架对称逆幺半群索引。通过定义抽象的车-Yokonuma-Hecke代数并证明主同构定理，建立了抽象代数与具体框架车代数在特定参数下的同构关系。最后，作者在张量空间上给出了忠实表示，并为该代数建立了线性基。
二维非齐次非线性薛定谔方程的大数据散射理论获突破
本研究证明了在二维空间中，对于所有幂次 p>0 的非齐次非线性薛定谔方程，其解在 H^1 空间中具有大数据散射性质。研究假设非齐次项非负且具有排斥性，并在 0<p<1 时要求其在无穷远处衰减。该结果扩展了经典齐次情况下的散射理论，为理解更广泛非线性波动方程的长期动力学行为提供了关键理论支撑。
算子空间中范数导数正交性的对称性研究
本研究探讨了有界线性算子空间中ρ-正交性及其局部对称性。建立了具有对称数值域的希尔伯特空间算子的ρ-正交性刻画，并给出了有限维希尔伯特空间上ρ-左对称和ρ-右对称算子的特征。研究发现，在二维实空间中，非零的ρ-左（或ρ-右）对称算子仅为正交矩阵的标量倍；而在维数大于二的有限维空间中，此类算子只能是零算子。对于无限维空间，在一大类算子中，零算子仍是唯一的ρ-左/右对称算子。
非可分离非局部平均场博弈的伪测度分布解
本研究针对一类哈密顿量非局部且不可加性分离的平均场博弈模型，证明了其偏微分方程系统解的存在性。关键突破在于允许代理人的初始分布为伪测度（如狄拉克质量和），这能更灵活地建模集中分布。存在性定理仅要求终值函数数据（或哈密顿量大小）满足小性条件，而对初始数据规模或时间范围无限制。研究还证明了在同类小性条件下的解的唯一性和连续依赖性，并分别在伪测度强收敛和有界测度弱*收敛两种初始数据假设下建立了连续依赖结果。
外三角长度范畴中的单砖结构及其与左Schur子范畴的双射对应
本文在外三角长度范畴中引入了单砖的概念，作为半砖结构的推广。主要贡献在于证明了单砖与左Schur子范畴之间存在一一对应关系，并进一步证明该对应在共尾闭单砖与挠自由类之间也成立。这些结果将Enomoto在阿贝尔长度范畴中的相关定理推广到了更一般的外三角范畴框架下。