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今日数学研究整体呈现跨领域融合与经典问题突破的双重趋势，凸几何、组合学与代数几何的经典猜想与计算复杂性、范畴论新框架等前沿方向共同推进。
2025-12-25 共 24 条抓取，按综合热度排序
本文重新审视了数学家 Tadao Oda 于 1997 年在 Oberwolfach 提出的一个著名问题：是否存在一个光滑的格点多面体，它不具有整数分解性质（IDP）？该问题陈述简单，但二十余年来仍未解决。文章从二维情形（包括 Pick 定理的证明）出发进行讨论，该定理优美地关联了格点多边形的面积与其内部和边界上的格点数量。这一问题的研究对代数几何、组合学和凸几何的交汇领域具有重要意义。
本文研究了由舍入临界点 $c \in [0,1]$ 定义的平稳除数法。在整数票数下，此类方法产生的席位分配序列具有周期性。作者首先刻画了两党分配的所有可能序列，并建立了序列的字典序与参数 $c$ 之间的联系。随后，展示了如何将两党序列系统地扩展到 $n$ 党场景，并确定了所有 $c$ 值下 $n$ 党问题中不同序列的数量。研究为理解大党优势提供了新视角：大党并非简单地获得更多席位，而是在分配序列中更早地获得席位。文中还揭示了最小除数法与最大除数法所生成序列之间的新关系。
本文证明了紧致复解析空间 $X$ 存在一个双亚纯的轨道折迭修正，该修正在 $X$ 的局部平凡轨道折迭轨迹上是同构的。这一结果为研究具有奇点的复解析空间提供了新的工具，通过引入轨道折迭结构来简化或“解析”其奇点，同时保持良好部分的结构不变。
本文研究了具有一般两体相互作用势 $w$ 的玻色星方程。在 $w$ 可分解为有限符号测度与本质有界函数之和的假设下，证明了（局部时间）解的传播速度不能超过光速，并给出了一个尖锐的指数小余项。此外，若 $w$ 为短程势且初始数据 $\psi_0$ 足够正则且小，则进一步证明了（全局时间）解具有渐近相空间传播估计和最小速度估计，这些估计依赖于与 $\psi_0$ 相关的散射态的动量。
本研究揭示了非线性色散波方程能量守恒Galerkin离散化中一个奇特现象：使用奇数次连续拉格朗日有限元空间可获得最优收敛，而偶数次多项式则导致精度下降。研究发现这一行为源于有限元空间本身的结构特性，特别是与标准$L^2$投影的超逼近性质密切相关——该性质仅在奇数次多项式情况下成立。论文进一步将此特性应用于正则化长波方程的能量守恒Galerkin近似，其中能量为三次泛函，证明了所得格式能同时守恒质量和能量，且脉冲近似具有高精度，并建立了半离散格式的先验误差界。
本文提出一种基于范畴论的统一方法，为满足特定条件的范畴构造出典范的微分计算理论。通过将忠实同构纤维化与幺半加法范畴中的幺半群范畴相联系，作者建立了从原范畴到一阶微分计算范畴的典范函子，并进一步将其推广至完整的微分计算范畴。该框架同时推广了光滑环上的德拉姆复形、交换代数上的凯勒微分以及结合代数上的通用微分计算，从而为这些范畴自然地引入了“光滑映射”和“微分同胚”的类比，并建立了函子性的德拉姆理论。
本文从理论上研究了贪婪算法的稳定性，即算法在输入数据存在微小扰动（噪声）时，其输出结果不会发生剧烈变化的性质。研究聚焦于一类特定的扰动——噪声数据，分析了算法在噪声存在下的收敛性和收敛速率变化，为贪婪算法在现实含噪场景中的可靠应用提供了理论依据。
本文研究一类阻尼二阶梯度系统 $\ddot{u}(t) + a\dot{u}(t) + \nabla W(u(t)) = 0$ 的渐近行为。在势函数 $W$ 于平衡点附近局部凸且无穷远处强制的假设下，通过构造适应系统几何的Lyapunov泛函，证明了对于所有 $a \in (0,a_0]$，平衡点是一致渐近稳定的；当势函数在极小值点附近满足二次控制时，解具有指数衰减率。此外，基于半群理论的补充论证揭示了系统存在全局吸引子。数值模拟展示了在耗散与保守两种机制下轨迹在平衡点附近的行为。
本文提出了一种适用于一般曲面（包括非单连通曲面）上Navier-Stokes方程和Euler方程的流函数-涡量公式。该公式仅依赖于标量和有限维量，能严格保证所得速度场精确切向且不可压缩，同时具有压力鲁棒性。相比传统速度-压力公式方法，无需增加计算成本即可维持这些关键结构特性。研究在合理正则性假设下证明了新公式与经典速度-压力公式的等价性，并通过数值算例验证了其适用性。
本文研究了在Foxby等价下诱导的对偶对及其性质。给定一个半对偶化双模C，通过限制Foxby函子，可以从R-模范畴上的对偶对(M,N)诱导出S-模范畴上的新对偶对(M^C(S), N^C(S^op))。文章探讨了原对偶对的性质如何传递到新对偶对，并研究了相对于这些对偶对的Gorenstein内射模与Gorenstein平坦模的多个版本。特别地，分析了这些模类在Foxby等价与Pontryagin对偶下的关系。
本文研究了 Clifford 椭球波函数（CPSWFs）的展开系数衰减性质。通过建立径向 CPSWFs 与有限 Hankel 变换特征函数之间的精确联系，推导了特征值的显式非渐近界，并将谱衰减估计推广到 Clifford 代数框架。结果表明，对于带限 Clifford 值函数，其 CPSWF 展开系数随阶数和齐次度的增加呈现超指数衰减。数值实验验证了该近似方法的准确性和高效性。
研究团队首次给出了第二类阿贝尔方程（一种非线性常微分方程）的通解，该方程已困扰数学界近两百年。通过运用初等求积方法，研究者成功构造出包含自由变量的通解表达式，为相关物理与工程问题的精确求解提供了关键数学工具。
本研究将Cardaliaguet-Euvrard神经网络算子扩展至模糊数值连续函数领域，系统研究了其在水平连续、发送图连续和端图连续三类函数上的逼近行为。通过严格的数学分析，获得了这些情况下的Jackson型收敛结果，为模糊函数逼近理论提供了新的工具框架。
本文针对连续模糊数值函数，提出了新的Jackson型逼近结果，改进了现有方法。研究采用源自区间分析的替代技术，基于模糊数的gH-差（可能不存在）和广义差（可能不满足消去律）进行构造，为模糊函数逼近提供了更有效的理论工具。
本文研究了固定模糊数值连续函数到其子集的最佳逼近问题。作者引入了一种度量模糊数值连续函数与实值函数之间距离的方法，并利用著名的Michael选择定理，证明了模糊数值连续函数到实值连续函数空间的最佳逼近的存在性。
该研究探讨一个组合优化问题：给定整数 $g_j$ 和 $x_j$（$j=1,\ldots,n$），如何构造使得所有排列 $\pi \in S_n$ 对应的和 $T_{\pi} = \sum_{j=1}^{n} g_j \cdot x_{\pi(j)}$ 互不相同，并最小化 $\max\{T_{\pi}: \pi \in S_n\}$。该问题在编码理论、信号处理和组合设计中有潜在应用。
本文研究了三维空间中质量超临界且能量亚临界区域非线性薛定谔方程（NLS）的柯西问题。对于临界齐次索伯列夫空间 $\dot{H}^{s_c}(\mathbb{R}^3)$（其中 $s_c = \frac{5}{6}$）中的初始数据，我们获得了关于解长时间动力学的一致衰减估计，这一结果推广了先前的研究。
本文指出，Pausinger 近期研究的一个涉及素数的特殊行列式，实际上是线性代数中已知的经典行列式。其计算与素数性质无关，仅依赖于矩阵的特定结构。这一发现澄清了该行列式的本质，并强调了其在纯数学背景下的已知性质。
本文在假设基格仅存在一个双曲分裂的条件下，建立了一个关于 Borcherds 乘积的新逆定理。同时，将 Kudla-Millson theta 提升的单射性结果推广至 O$(n,2)$ 情形，其适用范围比现有文献中的结论更为广泛。这两项进展深化了对自守形式与格理论之间联系的理解。
本文提出了一种描述对称幺半范畴的等价新框架。传统上，这类范畴由满足特定相容条件的结合子与交换子同构共同定义。新方法的核心是引入“结合-交换子”同构，它们自身满足一套简化的相容性公理，从而统一并简化了结构描述。这一框架特别适用于对称2-群，并最终利用阿贝尔群的Eilenberg-MacLane立方上同调，为这类对象提供了上同调分类。
本研究解决了图论中一个长期悬而未决的问题：对于ℓ₁度量（曼哈顿距离），判断任意简单图是否能作为某个欧几里得空间中的球影响图（SIG）嵌入。作者证明了该判定问题属于（承诺）NP完全问题。此前已知，对于ℓ∞度量所有图都可嵌入，而对于ℓₚ（0<p<∞）则存在反例，唯独ℓ₁的情况一直未知。这一结果为ℓ₁球影响图的可嵌入性提供了计算复杂性的明确分类。
本文研究了复叶状曲面 $(X,\mathcal{F})$ 上伴随叶状除子 $K_{\mathcal{F}}+\epsilon K_X$ 的奇点。作者对 $\epsilon \in (0,1/3)$ 范围内的 $\epsilon$-伴随对数典范奇点进行了完整分类。主要结论包括：对于任意 $\epsilon \in (0,1/5)$，每个 $\epsilon$-伴随对数典范奇点对叶层 $\mathcal{F}$ 自身也是对数典范的；对于任意 $\epsilon \in (0,1/4)$，每个 $\epsilon$-伴随典范奇点对 $\mathcal{F}$ 也是对数典范的。文末给出的例子表明这两个界限都是最优的。
本文研究了自由群在其凯莱树上的作用，构造了一种称为“回旋镖子群”的特殊子群。核心贡献在于：对于任意给定的有限生成子群，可以构造出临界指数无限逼近该子群临界指数的回旋镖子群。这一结果揭示了自由群子群临界指数分布的精细结构，为几何群论中临界指数理论提供了新的构造性范例。
本文针对定义在单调算子零点集上的分层变分不等式问题，提出了一种结合Tikhonov正则化与邻近惩罚的双层循环算法。该框架适用于带均衡约束的凸优化及均衡选择问题。在实希尔伯特空间中，作者证明了算法的渐近收敛性，并基于间隙函数给出了收敛速率分析。该方法具有灵活性，能够有效兼容一大类具有不动点编码的结构化算子分裂格式。最后，通过多个数值算例验证了理论结果的有效性。