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今日数学领域研究呈现多元交叉趋势，从基础代数、几何到前沿统计与机器学习理论均有重要进展，核心聚焦于理论工具的深化、推广与重释。
2025-12-30 共 22 条抓取，按综合热度排序
本文指出，在非参数统计与机器学习中，随机性（独立同分布生成）与可交换性是两个常用假设。对于无限观测序列，两者几乎无法区分；但对于给定长度的有限序列，两者差异变得非常显著。这一发现对依赖这些假设的统计推断与模型构建具有重要影响。
本研究运用微分几何方法，揭示了牛津大学万灵学院霍克斯穆尔设计的椭圆形拱顶藻井，以及罗马万神殿穹顶藻井的数学原理。研究假设这些看似不规则的方形藻井，实际上是矩形或有限圆柱体上规则正方形网格，通过共形映射（即墨卡托投影的逆映射）投影到曲面上的结果。这种方法保证了藻井肋线以直角相交，且藻井形状接近正方形。研究推导了适用于一般旋转曲面的藻井尺寸与位置公式，计算结果与现有照片及万神殿的实测数据高度吻合，并推测了霍克斯穆尔时代可能无需高等数学的施工方法。
本文推广了Grood对rook幺半群和Steinberg对全变换幺半群的不可约表示表格构造，提出了一种特征无关的方法。该方法适用于任何包含对称群的n元集上部分变换幺半群的子幺半群$\mathcal{M}(n)$。通过引入从$n \times n$矩阵幺半群的有理表示范畴到$\mathcal{M}(n)$有限维表示范畴的函子，建立了两个分支规则。主要结果描述了rook幺半群、部分变换幺半群和全变换幺半群的轨道调和商的$\mathbb{Z}$-分次模结构，从而得到了$n \times n$变量多项式环上柯西分解的类似物。
本文在满足适当条件的阿贝尔范畴与稳定性条件下，定义了广义K理论不变量，并证明了它们满足壁交叉公式。核心创新在于为阿贝尔范畴对象叠的K同调引入了一种新的结合代数结构，称为K-霍尔代数。通过直接由半稳定对象叠定义δ-不变量，并利用K-霍尔代数取形式对数来构造ε-不变量，最终借助非阿贝尔局部化定理证明了这些不变量满足壁交叉公式。该工作将Joyce和Liu在经典情形下的壁交叉结果推广到了$D^b(X)$的非标准心，这类情形下框架函子的存在性尚属未知。
本文对“可形变导数是一种新的分数阶导数算子”的流行观点进行了批判性重估。研究表明，可形变导数并非真正的分数阶算子，而是处理具有幂律时间尺度系统的一种有用计算工具，其本质等价于经典导数在非线性时间重参数化下的结果。文献中许多被标榜为新颖的“分数阶”贡献，实际上可在经典框架内重新解释。通过变量替换，使用可形变导数表述的问题可转化为经典问题，求解后再变换回来。这种重构揭示了该算子缺乏真正的非局域分数阶效应。文章通过理论分析、数值模拟（比较可形变、经典及真正的Caputo分数阶模型）探讨了这一误解持续存在的原因，并指出经典导数及已确立的分数阶导数才是建模记忆依赖现象的更忠实框架。
本文研究了张量环 $T_R(M)$ 上的广义Gorenstein投射与内射模。在特定条件下，证明了 $T_R(M)$-模 $(A, u)$ 是 $Ind(\mathcal{X})$-Gorenstein投射的，当且仅当 $u$ 是单同态且 $\text{coker}(u)$ 是 $\mathcal{X}$-Gorenstein投射 $R$-模。同时，也给出了 $\mathcal{Y}$-Gorenstein内射 $T_R(M)$-模的明确刻画。作为推论，得到了 $T_R(M)$ 上Ding投射模与Ding内射模的特征。研究结果可应用于平凡环扩张与Morita语境环。
这是一本环论入门教科书，系统介绍了环论的核心概念，包括理想、环同态、欧几里得整环、主理想整环和唯一分解整环。书中提供了丰富的示例和练习题，适合数学及相关专业的学生和研究者学习参考。
本文提出了一种用于计算以四元数形式 $q + l p$ 表示的两个（分裂）八元数乘积的紧凑记忆规则。该规则表现为一个简单的 $(R+L)$ 模式，即“右序”与“左序”四元数乘积的组合，这在一个表示凯莱-迪克森构造的 $2 \times 2$ 四元数矩阵中清晰可见。此公式可直接推广至凯莱-迪克森塔中的所有代数，为非结合代数环境提供了高效的计算工具。据我们所知，这种显式的记忆模式并未出现在关于八元数或合成代数的经典文献中。
本文研究定义在复空间 ℂⁿ (n>2) 上的有理向量场的刘维尔可积性问题。作者基于先前工作，指出此类可积向量场可通过在有理函数域 K 的有限代数扩张 L 上对某个 1-形式进行两次积分，获得一个首次积分。本文的核心贡献是系统讨论并刻画了“例外向量场”——即那些无法在 L=K（即无需代数扩张）的情形下完成上述构造的向量场。特别地，作者通过构造三维的具体例子，首次证明了例外向量场确实存在。
本文分享了在高等数学教育中的实践经验，探讨如何引导高中生自然地、循序渐进地接触科学研究的基本步骤。核心方法包括：通过讨论和撰写论文来培养直觉、发现并纠正错误，引入透明匿名同行评审，以及设立认可与奖励机制。研究表明，即使在不追求科学新颖性的研究项目中，也能实现大部分科研流程训练。文章以莫斯科中学生数学会议为例，详细阐述了其组织原则与具体案例。
本研究在光锥空间 $\mathbb{Q}_{2}^{3} \subset E_{2}^{4}$ 中，利用零自然Frenet标架 $\{x, \xi, N, W\}$，分析了零曲线的运动学性质。通过构造该标架向量（切向量、法向量等）的线性组合，定义了Smarandache曲线，并系统研究了其弯曲、挠率等几何不变量。结果表明，原零曲线的性质如何传递到Smarandache曲线，以及该空间的度量结构如何影响Smarandache曲线的特征。这项工作为微分几何中约束与退化结构的关系，以及理论物理中的类光粒子动力学提供了新视角。
本文提出了一种行为类似于误差函数的新型特殊函数，并为其累积分布函数（CDF）提供了一个精确的近似封闭形式。该近似形式结合了一类切比雪夫多项式和误差函数，同时利用帕德近似给出了其级数表示。数值证据表明，在二次平均范数意义下，近似精度可达 $10^{-6}$。该方法具有普适性，可应用于麦克斯韦-玻尔兹曼分布和正态分布等其他概率分布，文中展示了其在这两种分布上的应用实例。
本文首先定义了有序区间的概念，并在此基础上引入了一种新的有序模糊内积。研究描述了该内积的基本性质，为模糊数学与区间分析在泛函分析框架下的结合提供了新的理论工具。该方法有望拓展模糊集理论在优化、决策及不确定性建模等领域的应用。
本研究系统探讨了高维中心极限定理（CLT）在超矩形区域上成立的充要矩条件。作者将独立随机变量分为四类：（I）具有所有多项式矩；（II）具有高于二阶的某多项式矩；（III）仅具有二阶矩；（IV）二阶矩无穷但属于正态分布的吸引域。针对每一类，论文精确推导了样本量$n$与维度$d$之间关系的最优增长速率$d = d(n)$，使得高维CLT成立。结果表明，现有文献中的许多充分条件并非必要，CLT可以在更弱的矩条件下保持有效。
本文在冯·诺依曼-伯奈斯-哥德尔集合论（NBG）基础上，移除了正则公理（RA），引入“skand”与“coskand”两类新对象，构建了包含非良基集合的理论NBG⁻。Skand定义为由良基集合构成的无限递减元组（如 $X=\{1,\{2,\{3,\{\ldots\}\}\}\}$），其存在性由新公理SEA保证；Coskand则为对偶的递增元组。理论通过伪良基公理（PFA）和扩展外延公理（EEA）完善了非良基对象的处理框架，并探讨了其在所有康威数域中的模型。
本文研究了最大公约数为2的幂的亲和数对，通过分析其奇素数因子分解形式（如$A=2^nab, B=2^ncd$等），建立了欧拉函数和$\varphi(A)+\varphi(B)$与$A$、$B$的奇素数因子之间的显式对称恒等式，为这类经典数论问题提供了新的解析工具。
本文提出了一种连续阶的Maclaurin型算子，用于重构解析函数。该算子将经典Maclaurin展开中整数阶导数的离散和替换为对分数阶导数阶数的积分，并在求值点处以 $x^r/\Gamma(r+1)$ 加权。数值实验表明，未经修正的算子能可靠地追踪函数的整体形状，但存在系统性偏移和原点附近的局部偏差。受经典Euler-Maclaurin求和公式启发，引入低阶修正项可显著减小误差，使算子在测试域内准确重构函数。该算子能精确再现单项式，反映了导数信息向单一阶数的坍缩，这与单项式的经典Maclaurin展开一致。这种奇异坍缩启发了远离原点的以Taylor为中心的扩展，其中阶数依赖性预计是光滑的。这些结果表明，带有低阶修正的连续阶积分算子为推广经典Taylor-Maclaurin展开提供了一个连贯的框架。
本文重新审视了二项分布中心极限定理的始祖——棣莫弗-拉普拉斯定理的证明。作者旨在提供一个可在概率论基础课程中向本科生合理展示的简化证明。其核心策略是采用基本不等式 $\exp(t) \geq 1 + t$ 来替代传统证明中对数或指数函数级数展开的复杂论证，从而完全避免使用一致收敛和幂级数理论。同时，证明避开了斯特林公式，转而使用沃利斯积分的精确公式。作为证明的副产品，本文还得到了一个连接二项分布与高斯分布的非渐近不等式。
传统常微分方程理论缺乏求解一般变系数线性方程的通用方法，仅提供针对特定方程类的特殊技巧。本文通过引入multex积分算子，填补了这一基础理论的空白。该算子将标准指数原函数算子（对数导数的逆）推广至多个输入函数，从而能以显式形式积分任意线性常微分方程，为这一经典领域提供了统一的解析求解框架。
本文推广了Alladi、Sweeting和Woo的工作，建立并证明了数环中素理想的一般高阶对偶性定理。利用二阶对偶性，作者推导出一个涉及广义Möbius函数 $\mu_k$ 与素理想计数函数 $\pi_K(x)$ 之和的Chebotarev密度定理新公式：$\sum_{N(\mathfrak{p}) \le x} \mu_k(\mathfrak{p}) \sim \delta_K x / \log x$。作为对偶恒等式的应用，文中还提供了此类和式的两个估计。最后，论文在更一般的框架下讨论了该对偶性。
本研究将贝叶斯框架下的快速变化检测问题建模为部分可观测马尔可夫决策过程中的最优停止问题，并利用强化学习技术寻求近似最优检测算法。主要贡献包括：提出一种适用于一般部分可观测最优停止问题的Q学习算法，在基函数满足特定假设条件下证明了其在线性函数逼近下的收敛性；针对快速变化检测问题，基于先验理论指导特征选择，证明了在理想条件下所得策略类包含近似最优策略；数值实验表明，Q学习生成的策略性能接近所选函数类中的最优水平。
本文研究了从三字母表（例如{a, b, c}）中构造长度为$N=3M$的单词的计数问题。通过将$M$按其模3的余数（即$M \equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$）分为四种情况，作者给出了该计数问题的精确解。该解不仅提供了单词数量的封闭表达式，还揭示了一些三项式系数之和的恒等式，建立了组合计数与多项式系数理论之间的联系。