2026-01-15 共 22 条抓取，按综合热度排序
本研究针对二维经典准循环低密度奇偶校验（QC-LDPC）码，推导了其Tanner图中存在$2g$环的一般条件。基于此，通过堆叠$p \times p \times p$张量（$p$为奇素数），构造了一类围长大于4的二维经典QC-LDPC码族。对于复合数$p$，提出了两个额外的码族，分别实现围长大于4和大于6。所有经典码均具有至少$p \times p$的纠删能力。在此基础上，进一步构造了两类二维纠缠辅助量子LDPC（EA-QLDPC）码：第一类由一对经典码生成，其无辅助部分的Tanner图无4环，仅需1个纠缠比特；第二类由单个无4环的经典码生成。两类量子码均继承了$p \times p$的纠删能力。
本文研究了由成对 f-互信息 $I_f(X_i;X_j)$ 构成的变量索引矩阵 $M^{(f)}$ 何时是半正定的。对于满足 $f(1)=0$、在 1 附近有限且 $f(0)<\infty$ 的凸函数 $f$，作者给出了一个尖锐的局部刻画：存在 $\delta(f)>0$，使得对于任意有限字母表变量族 $(X_1,\ldots,X_n)$，只要其成对联合分布与乘积分布的比值在 $(1-\delta,1+\delta)$ 内，则 $M^{(f)}$ 半正定当且仅当 $f$ 在 1 处解析且具有非负泰勒系数的展开 $f(t)=\sum_{m=2}^{\infty} a_m (t-1)^m$。这意味着任何负的泰勒系数都会在任意弱依赖下产生反例，从而排除了非解析凸散度。证明结合了将单项式项转化为 Gram 矩阵的副本嵌入技术，以及将问题约化为正定点积核的副本强制约简，从而应用了 Schoenberg--Berg--Christensen--Ressel 分类定理。
本文引入三重交叉图（TCD）作为统一框架，编码点线射影配置，连接离散微分几何、离散几何动力学与双曲几何中的多种构造。定义两类局部变换，其中一类由离散Schwarzian KP方程支配，并证明其多维相容性。在TCD映射空间上构造了射影与仿射两种不同的聚类代数结构，通过“截面”操作相联系。该框架统一了Q-网、Darboux映射、线复形、T-图、t-嵌入、三角剖分以及五角星映射、交比动力学等几何离散可积系统。
本文研究了一类由多维无限二面体群扩张的 Gibbs Markov 映射。由于群的非阿贝尔与非紧致性，无法使用群上随机游走的卷积方法。作者转而采用基于不可约表示的途径，证明了关联上同调的局部中心极限定理。根据群的维度，系统可能呈现混合性（从而遍历）或耗散性。此外，研究还给出了群扩张首次返回原点时间的渐近行为。
针对描述斑图形成的Newell-Whitehead-Segel方程，先前研究已证明其最佳解为零解，但所用方法涉及复杂的嵌套积分，分析困难。本研究利用卷积积分的性质，在值域上对解进行了大幅简化，得到了更简洁的表示形式。通过对方程谱解进行傅里叶逆变换，证实其为一个非双射的零解，从而验证了先前的猜测。无论是展开式还是Fujita型解等替代表示，均证明该解为零函数。
本文提出了一种用于瞬态热传导拓扑优化的时空谱元法。正向问题采用求和-分部（SBP）算子离散，并通过同步近似项（SAT）弱施加界面/边界及初/终值条件，从而在异构域上构建稳定的整体时空格式。在特定SAT参数条件下证明了稳定性。设计灵敏度计算采用与原始SBP-SAT格式对偶一致的离散时空伴随格式，确保了离散伴随问题对连续对偶问题的一致逼近，并在标准光滑性假设下获得超收敛的函数估计。通过与独立计算的参考最优设计对比验证了结果，并比较了正向与伴随系统的低阶时间推进和整体求解器，给出了求解时间与精度成本曲线。该方案能以更少的时空自由度实现高精度，保持稳定，并减少求解时间和内存消耗，有望用于大规模时变热系统的拓扑优化。
本文研究了高斯机制的点态最大泄露（PML）包络，该包络刻画了在任意后处理下以高概率成立的最小信息泄露上界。对于秘密服从高斯分布的情形，作者推导了在足够小的失效概率下，确定性PML包络的闭式表达式。通过应用Brascamp-Lieb不等式，进一步证明该结果可推广至满足强对数凹先验分布的一般无界秘密，从而为差分隐私机制的风险评估提供了更精确的理论工具。
本研究针对自旋轨道耦合玻色-爱因斯坦凝聚体（SO-coupled BECs）的基态计算难题，提出了一种基于J方法（J-method）的非线性逆迭代方案。该模型由Gross-Pitaevskii类型的耦合非线性特征值问题描述，其复杂的相互作用导致传统数值方法收敛缓慢。新方法通过引入谱偏移技术，可类比线性特征值问题的加速策略，显著提升收敛速度。理论分析表明，在固定偏移参数下，算法在准唯一基态邻域内具有由谱间隙决定的局部线性收敛性；而采用自适应偏移时，数值实验验证了其超线性收敛能力。
本文研究了流形 $Q$ 上庞特里亚金丛的随机 Hamilton-Pontryagin 原理的约化问题。证明在 Lie 群 $G$ 的自由恰当作用下，随机作用量可约化为由约化空间 $Q/G$ 的庞特里亚金丛、伴随丛 $\tilde{\mathfrak{g}}:=(Q\times \mathfrak{g})/G$ 及其对偶丛 $\tilde{\mathfrak{g}}^*$ 上的变量表达的变分原理，从而建立了随机版本的隐式 Lagrange-Poincaré 约化。随机 Euler-Lagrange 方程约化为 $T(Q/G)\oplus T^*(Q/G)\oplus\tilde{\mathfrak{g}}\oplus\tilde{\mathfrak{g}}^*$ 上的一组随机水平和垂直 Lagrange-Poincaré 方程。作为应用，分析了带转子刚体及磁场中带电粒子的 Kaluza-Klein 描述的随机扰动。
本文通过给出仿射$E_7$无阴影子因子平面代数的生成元与关系的图解表示，推进了Kuperberg纲领。利用该表示，证明了其水母算法是一个定义良好的、到复数域$\mathbb{C}$的满射。这一结果特别表明，水母算法是该平面代数上闭图的一个不变量。
本文针对由算子方程 $L_f u = g$ 定义的非线性统计反问题，提出了一类计算可行的估计器——插件估计和PDE惩罚M估计。核心思想是用弱执行的松弛条件替代精确的PDE约束，从而将非凸优化问题转化为条件凸的、嵌套的二次优化问题。该方法避免了计算正向映射 $G(f)$ 和求解PDE，显著降低了计算复杂度。对于椭圆PDE（如达西流模型 $L_f u = \nabla\!\cdot(f\nabla u)$ 和稳态薛定谔模型）中的典型非线性反问题，研究证明这些估计器在达到已知最优统计收敛率的同时，可在多项式时间内全局计算。在达西模型中，从 $N$ 个噪声样本估计 $f$ 的算术运行时间上界为 $o(N^2)$。分析基于新的广义稳定性估计，并结合了非参数M估计的工具。
本研究针对大规模优化问题，提出了新型块分解算法。第一部分提出了一种自适应于所有问题参数的新型近端交替方向乘子法（ADMM），它能够非精确求解近端增广拉格朗日子问题，克服了ADMM实际应用中的关键挑战，其迭代复杂度达到当前近端ADMM方案的最优水平。第二部分研究了块近端梯度法中非精确近端映射的关键性质，在两种误差递减条件下，算法收敛速度与精确计算版本相当。数值实验表明动态误差机制优于固定机制。研究还为应用于Hölder光滑函数类的随机块坐标下降法提供了收敛性保证，推导了非凸、凸和强凸函数的收敛速度，与现有Lipschitz光滑设定下的结果一致。
本文为Sarmanov Copulas提供了一种新的随机表示方法，解决了其在高维应用中参数约束验证困难的问题。核心贡献在于证明了任何二元Sarmanov Copula都可以表示为由一个潜在伯努利对索引的独立单变量分布的混合。这一表示将验证Copula有效性的复杂组合不等式问题，转化为确保伯努利概率质量函数非负的简单问题。该方法不仅统一了Farlie-Gumbel-Morgenstern等多个经典Copula族，还推导了Spearman's $\rho$和Kendall's $\tau$的全局锐界。基于此，研究进一步提出了高维的伯努利混合构造，形成了一类参数约束易于验证、模拟算法可扩展的新型多元Sarmanov Copulas。
本文针对光滑非凸与非光滑凸函数之和的优化问题，扩展了信赖域方法的应用范围。原方法要求非光滑项具有解析的近端算子，这限制了其适用性。作者利用δ-Fréchet次微分，定义了非精确近端算子，并将其嵌入信赖域框架。通过引入加权内积，理论分析得以处理算子非精确性。该方法最终被应用于求解由Burgers方程约束的最优控制问题，展示了其解决复杂实际问题的潜力。
交错距离是拓扑数据分析（TDA）中应用最广泛的度量之一，但其计算在多数场景下是NP难的。本文提出了一种更通用的方法，通过一个损失函数来界定具体范畴上广义持久性模之间的交错距离。该损失函数衡量一个“可能不交换”的赋值（可视为一个近似的交错）与真正交错之间的差距。研究给出了损失函数可在多项式时间内计算的若干场景，包括对$k$参数持久性模的某些假设。这为在实际计算中高效逼近交错距离提供了新途径。
本研究从信息论视角系统分析了大型语言模型（LLM）分词器的核心作用。研究发现，分词器本质上是结构化压缩器：随着训练数据规模增大，分词流在整体上变得更多样（一元熵增加），但在上下文中的可预测性显著增强（高阶条件熵降低），表明分词过程吸收了大量的短程规律性。研究通过基准测试、引入压缩感知的BPE变体以及信道容量利用率指标，揭示了分词器在压缩效率、诱导的统计结构以及领域偏移鲁棒性之间的多重权衡，为基于原理的、压缩感知的分词器设计提供了动机。
本文提出了一种基于基站与用户设备协同的混合单/双基地集成感知与通信框架，无需额外频谱或跨小区协调。通过推导目标定位与速度估计的闭式克拉美-罗下界，揭示了其性能极限。分析表明，当基站-目标-用户设备构成接近直角三角形的有利几何构型时，性能显著优于纯单或双基地感知。基于此界，进一步分析了感知覆盖范围随用户设备位置变化的规律，并推导了最佳用户选择下感知精度与网络用户密度的函数关系。
本文通过分析Hardy-Littlewood常数，研究了素数在数组中的依赖关系。重点分析了模式$(0,d)$下该常数的行为，其取决于$d$的算术性质，包括收敛到孪生素数常数、发散到无穷大以及振荡行为。利用解析数论方法，研究了相应乘性函数的极限分布。结果表明，对于对称数组，Hardy-Littlewood常数随着数组长度的减小而单调递减，表明素数间的依赖关系减弱。理论结论得到了特定对称数组计算的支持。
本文为三元Γ-模建立了同伦理论基础，证明了其范畴是Barr-正合且幺半封闭的。通过构造单纯范畴$s(\mathcal{T}\text{-Mod})$上的余纤维生成Quillen模型结构，解决了非二元代数中长期存在的“可加性障碍”。核心发现是导出范畴$D(\mathcal{T}\text{-Mod})$构成一个3-角化范畴，其导出周期性由三元四边形而非二元三角形支配。由此导出了三元长正合序列，并将连接态射刻画为Γ-参数空间的不变量。该框架为Nambu力学和$\mathbb{F}_1$上的绝对几何提供了严格的同调桥梁。
本文在闵可夫斯基范数的符号假设下，证明了欧几里得空间中各向异性极小超曲面的单调性公式。该公式是研究此类曲面几何性质的关键工具，有助于分析其正则性和渐近行为。
本文针对S.E. Hans关于数字拓扑中伪覆盖空间的勘误论文（arXiv:2601.08949）进行再分析。原勘误论文旨在修正先前研究中的错误，但本文指出其本身在数学论证与文献引用方面仍存在缺陷。通过严谨的数学审查，本文揭示了这些新问题，强调了在数字拓扑这一交叉领域（结合离散几何与代数拓扑）中保持数学严谨性与学术规范的重要性。
本文系统研究了向量格 $X$ 的相对一致完备化 $X^{\mathrm{ru}}$ 的多种等价定义与构造方法。主要结论包括：若 $X$ 是某个一致完备向量格 $Z$ 的子格，则 $X^{\mathrm{ru}}$ 可视为 $Z$ 中所有包含 $X$ 的一致完备子格的交；也可通过一个取“一致附着”的超限过程构造。当 $X$ 在 $Z$ 中主控时，$X^{\mathrm{ru}}$ 即为 $X$ 在 $Z$ 中的一致闭包。文章还证明了 $X^{\mathrm{ru}}$ 具有泛性质：任何从 $X$ 到一致完备向量格的正算子均可唯一延拓至 $X^{\mathrm{ru}}$，此性质对格同态等算子类同样成立。最后，讨论了子格的一致附着与一致闭包相等的条件，并给出了一个不等的反例。